高中数学小题专练1肖博数学小题专练·(二)平面向量、复数、算法初步一、选择题1.(2017·长春质量监测(二))已知复数z=1i，则下列命题中正确的个数是()①|z|=2;②z=1-i;③z的虚部为i;④z在复平面内。
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肖博数学小题专练·(二) 平面向量、复数、算法初步
一、选择题
1.(2017·长春质量监测(二))已知复数 z=1 i，则下列命题中正确的个数是( )
①|z|= 2;② z =1-i;③z 的虚部为 i;④z 在复平面内对应的点位于第一象限。
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
解析 ①|z|= 1
2 1
2= 2，①正确;②由共轭复数的定义知，
②正确;③对于复数 z=a bi(a∈R，b∈R)，a 与 b 分别为复数 z 的
实部与虚部，故 z=1 i 的虚部为 1，而不是 i，③错误;④z=1 i
在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，④正确。故正确命题的个
数为 3，选 C。
2.(2017·合肥市第一次质检)已知复数 z=2 i1-i(i 为虚数单位)，那么 z 的共轭复数为( )
A.32 32i
4.(2017·成都第二次诊断)已知平面向量 a，b 的夹角为π3，且|a|=1，|b|=12，则 a 2b 与 b 的夹角是( )
A.π6
B.5π6
C.π4
D.3π4
答案 A
解析 因为|a 2b|2=|a|2 4|b|2 4a·b=1 1 4×1×12×cosπ3=3，所以|a 2b|= 3，又(a 2b)·b=a·b 2|b|2=1×12×cosπ3 2×14=14 12=34，所以 cos〈a 2b，b〉=(a 2b)·b|a 2b||b|=343×12=32 ，所以 a 2b 与 b 的夹角为π6。
故选 A。
5.(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 最小值为( )
3
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 D
解析 根据程序框图，第一次循环：S=100，M=-10，t=2，第二次循环：S=100-10=90M=1，t=3，由于输出 S 的值小于91，所以 N 的最小值是 2。满足题意。
6.(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为( )4
A.0,0 B.1,1
C.0,1 D.1,0
答案 D
解析 当 x=7，b=2 时，b2=4>7 不成立，7 不能被 2 整除，所以 b=b 1=3，此时 32=9>7 成立，a=1，所以第一次输出 a=1。当 x=9，b=2 时，b2=4>9 不成立，9 不能被 2 整除，所以 b=b 1=3，此时 32=9>9 不成立，9 能被 3 整除，a=0，所以第二次输出 a=0。
7.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a b|=|a-b|，则( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
答案 A
解析 依题意得(a b)2-(a-b)2=0，即 4a·b=0，a⊥b，故选 A。
8.(2017·洛阳第一次统考)已知向量 a=(1,0)，|b|= 2，a 与 b 的夹角为 45°，若 c=a b，d=a-b，则 c 在 d 方向上的投影为( )
A.55
B.-55
C.1
D.-1
答案 D
解析 依题意得|a|=1，a·b=1× 2×cos45°=1，|d|= (a-b)2=a2 b2-2a·b=1，c·d=a2-b2=-1，因此 c 在 d 方向上的投影等于c·d|d|=-1，
故选 D。
9.(2017·成都第二次诊断)若复数 z1=a i(a∈R)，z2=1-i，且z1z2为纯虚数，则 z1 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限5
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 z1z2=a i1-i=(a i)(1 i)2 =(a-1) (1 a)i2 为纯虚数，则 a=
1，所以 z1=1 i，z1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，故选
A。
10.(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a=-1，则输出的 S=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 B
解析 依次运行程序，直至程序结束。S=0，K=1，a=-1。第一次循环，S=0-1=-1，a=1，K=2;第二次循环，S=-1 2=1，a=-1，K=3;第三次循环，S=1-3=-2，a=1，K=4;第四次循环，S=-2 1×4=2，a=-1，K=5;第五次循环，S=2 (-1)×5=-3，a=1，K=6;第六次循环，S=-3 1×6=3，a=-1，K=7。由于 7>6，故循环结束。故选 B。6
11.(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，
AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O。记 I1=OA→·OB→，I2
=OB→·OC→ ，I3=OC→ ·OD→ ，则( )
A.I1
C.I3
答案 C
解析 显然∠BOC 为锐角，所以 I1=OA→ ·OB→<0，I2=OB→·OC→ >0，
I3=OC→ ·OD→ <0。如图，过点 B 作 BM⊥AC 于点 M，过 A 作 AN⊥BD
于点 N。因为△ABD 和△ABC 均为等腰三角形，所以 BN=ND，AM=
CM，所以|OA|<|OC|，|OB|<|OD|，∠AOB=∠COD>π2，所以 I1>I3。所以 I3
12.(2017·湖北黄冈二模)已知平面向量 a，b，c 满足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，(c-2a)·(c-b)=0，则|c|的最大值与最小值的和为( )
7
A.0 B. 3
C. 2 D. 7
答案 D
解析 ∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，即 a
2=2a·b，又|a|=|b|=1，
∴a·b=
1
2，a 与 b 的夹角为 60°。设OA→ =a，OB→=b，OC→ =c，以 O 为
坐标原点，OB→ 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则 a=
1
2，
3
2
，b=(1,0)。设 c=(x，y)，则 c-2a=(x-1，y- 3)，
c-b=(x-1，y)。又∵(c-2a)·(c-b)=0，∴(x-1)2 y(y- 3)=0。即
(x-1)2
y-
3
2
2=
3
4，∴点 C 的轨迹是以点 M
1，
3
2
为圆心， 3
2 为
半径的圆。又|c|= x
2 y
2表示圆 M 上的点与原点 O(0,0)之间的距离，
所以|c|max=|OM|
3
2 ，|c|min=|OM|-
3
2 ，∴|c|max |c|min=2|OM|=
2× 1
2
3
2
2= 7，故选 D。
二、填空题
13.如果 z=
1-ai
1 i
为纯虚数，则实数 a 等于________。
答案 1
8
解析 设 z=
1-ai
1 i
=ti(t∈R 且 t≠0)，则 1-ai=-t ti，
1=-t，
-a=t，
a=1。
14.(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图。若输入 x 的值为 116，则输出 y 的值是________。
答案 -2
解析 由流程图可得 y=
2
x，x≥1，
2 log2x，0
所以当输入的 x
的值为 1
16时，y=2 log2
1
16=2-4=-2。
15.(2017·湖北七市联考)平面向量 a，b，c 不共线，且两两所成
的角相等。若|a|=|b|=2，|c|=1，则|a b c|=________。
答案 1
解析 ∵平面向量 a，b，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为 120°。∵|a b c|2=(a b c)2=a2 b2 c2 2a·b2b·c2a·c = |a|2|b|2|c|22|a||b|cos120°2|b||c|cos120° 92|a||c|cos120°= 2222122×2×2×
-
1
22×2×1×
-
1
2
2×2×1×
-
1
2 =1，∴|a b c|=1。
16.已知向量 a，b 满足|a|=2，|b|=1，且对一切实数 x，|a xb|≥|a b|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为________。
答案 2
3π解析 |a xb|≥|a b|恒成立⇒a2 2xa·b x2b2≥a2 2a·b b2 恒成立⇒x2 2a·bx-1-2a·b≥0 恒成立，∴Δ=4(a·b)2-4(-1-2a·b)≤0⇒(a·b 1)2≤0，∴a·b=-1，∴cos〈a，b〉= a·b|a|·|b|=-12，又〈a，b〉∈[0，π]，故 a 与 b 的夹角的大小为2π3 。
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