垂线段最短几何模型手册垂线段最短是最基础，但最常用的一个最值模型许多复杂的最值模型最后会转化成垂线段最短，例如非常有名的"胡不归"模型文章来源公众号：初中数学题※注意和将军饮马(两点间线段最短)的区别！01。
垂线段最短是最基础，但最常用的一个最值模型。许多复杂的最值模型最后会转化成垂线段最短，例如非常有名的"胡不归"模型。
文章来源公众号：初中数学题
※注意和将军饮马(两点间线段最短)的区别！
01 认识模型
直线L外一点A与直线上所有点相连得到的线段中，与L垂直的线段最短。简称垂线段最短。
02 确定模型
根据以下特征来确定模型：
①定直线外一个定点A
②定直线上的一个动点P
③求AP的最小值
03 模型原理
直线L外定点A，作AP垂直L。直线上点P外一点P′。
则有AP′>AP，可以根据下面方法证明
①垂线段公理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
②直角三角形AP′P中斜边大于直角边(或大角对大边)
04 结论
此模型的结论比较简单(垂线段最短)，一般考察时会加以变化。
我们可以根据动点，定点的位置，通过转化线段等方法，转成基本的形式。
05 抽图训练
下面举一些例子，大家练习一下如何转化成垂线段最短。
例1，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，过P作PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别是E、F，连结EF，D为EF的中点，则CD的最小值为( )。
分析：点C是定点，动点P在定线段AB上运动，所以CP最小值符合垂线段最短。
※由于EF位置在变化，所以点C与EF上的点D则不符合垂线段最短。
因为是∠C是直角，易知四边形PECF是矩形，所以CP=2CD，转化为求CP的最小值。
确认模型：定点C，AB上动点P，求CP最小值。
参照下图，CP的最小值是△ABC边AB上的高：3×4÷5=12/5，所以答案：6/5。
例2，线段AB的长为10，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是( )。
方法一
分析：延长AD与BE交于点P，易知四边形PDCE是矩形，所以DE=PC，转化为求CP的最小值。
确认模型：定点P，AB上动点C，求PC最小值。
参照下图，等腰直角△PAB，易知PC的最小值是5。
方法二
分析：过D作DM垂直AB，过E作EN垂直AB，则DM平行EN，且MN=AB/2，所以DE与AB平行时最短，最小值是MN的长度。所以答案：5。
※从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫平行线间的距离(本质还是垂线段最短)。平行线间的距离处处相等。
例3，如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为( )。
分析：点O是定点，点B是动点，想求OB最小值需要先确定点B的轨迹。
由于四边形OABC是平行四边形，点O、A、B的横坐标都固定，易知点B的横坐标是5，即点B是直线x=5上的动点。
确认模型：定点O，直线x=5上动点B，求OB最小值。
所以最小值是5。
例4，如图，边长为6的等边三角形ABC，对称轴AD上有一动点E，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，则DF的最小值为( )。
分析：点D是定点，点F是动点，想求OF最小值需要先确定点F的轨迹。
为了快速确定轨迹，利用之前讲过的(瓜豆原理 | 几何模型手册)
如图，易知从动点F的运动轨迹与点E一样是直线CG，且∠CGD=60°。(可以找两个特殊点确定轨迹直线，例如点C，AD上的点G)
确认模型：定点D，直线CG上动点F，求DF最小值。
在直角三角形CDG中，CD=3，可以求得DG=√3，CG=2√3。所以DF的最小值就是CG上的高，所以答案是：3/2。
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