伽罗瓦理论影响代数在19世纪之前，解方程一直是代数学的中心问题，早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程，但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事公元9世纪的时候，代数之父阿尔·花剌子模发。
在 19 世纪之前，解方程一直是代数学的中心问题，早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程，但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。公元 9 世纪的时候，代数之父阿尔·花剌子模发表专著《代数学》，是第一本解决一次方程及一元二次方程的系统著作，他因而被称为代数的创造者。
然而直到 16 世纪，人们对于三次方程的研究才取得了突破，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，就是形如{\displaystyle x^{3} mx=n\,}的方程。事实上，如果我们允许{\displaystyle m\,},{\displaystyle n\,}是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们还不知道复数。
1553 年尼科洛·塔尔塔利亚在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题，最早得出三次方程式一般解。后来塔尔塔利亚将这个方程式告诉了卡尔达诺，卡尔达诺在经过仔细研究之后，给予了其几何证明，并且发表在自己的著作《大术》中，被称为卡尔达诺公式。
卡尔达诺公式的解法如下：
运用卡尔达诺公式可解任意复系数的三次方程，不过这个解法还是有一些不完善的地方，因为它会出现负数的平方根，卡尔达诺既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为诡变量，虚数就此从卡尔达诺这里诞生，纠缠了数学界数百年。
卡尔达诺
而三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中：
后来另外一位在代数发展史上具有重要贡献的数学界韦达对二次方程、三次方程、四次方程进行了梳理简化，变得更加完善。
二次、三次、四次方程的根都可以用它的系数的代数式(即只含有限项的加、减、乘、除和开方五种代数运算的表达式)来表示，五次及五次以上方程到底是否也行，这个问题吸引了众多的著名数学家，一开始大家信心满满地向五次方程发起冲击，但是却遇到了各种挫折。
到了 1770 年，拉格朗日详细考察了人们求解 2、3、4 次方程的方法，首次意识到 5 次及其以上方程求根公式可能不存在，他将自己的思考发表在了《关于代数方程解的思考》，不过，他还是设想了一种理论上的关于“利用根的置换理论来解方程式”的理论来试图为解决这个问题提供一种可能性。
虽然他并没有解决这个问题，但他提出的根的置换理论揭示了问题的本质，也是这个问题最后解决所出现的曙光。
欧拉为寻找五次方程的求解提供了一种新思路。他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x^5 ax b=0”的形式。这一优美的表达反应出欧拉倾向于可以找出五次方程的通解表达式。（事实上欧拉的想法是错的）
到了 1801 年，高斯证明分圆多项式-1 xp（p为素数）可以用根式求解，这使得人们意识到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。
这个时候，数学史上的天才少年阿贝尔出现了，阿贝尔13岁就展露数学才华，他学习如牛顿、欧拉等数学大家的理论，甚至能从中找出他们的小漏洞。
1824年,阿贝尔的工作揭示了高次方程与低次方程的根本不同，证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式，然而仍然存在一些特殊的高次多项式能够用根式求解，如何区分能够求解的和不能求解的多项式仍然是一个未决的问题。
阿贝尔曾经自己的研究成果寄给高斯，但是高斯并不相信阿贝尔可以用六页纸解决这样的难题，所以弃之不理。
阿贝尔后来还没有来得及彻底解决这个问题，就去世了，年仅 27 岁。而这剩下的工作就交由另外一位天才少年伽罗瓦来完成了。
伽罗瓦 16 岁时候才接触数学，因为那时候中学到了二年级才可以去听初等数学课，当时伽罗瓦一看到教科书，就觉得这东西压根不值得看。他认为这些教科书不谈推理方法而只谈技巧简直是误人子弟，学习数学就应该透过现象去看本质，还需要掌握明确而富有表达力的语言。
影视作品里的伽罗瓦
所以他在一年的时间里，自学了法国著名数学家勒让德尔的《几何原理》、那末拉克朗日的《论数值方程解法》、《解析函数论》、《函数演算讲义》，还逐渐熟悉了欧拉、高斯、雅科比的著作。
后来，他曾经多次向科学院投稿，然后柯西遗漏了他的论文、傅立叶接到论文之后暴毙、泊松直接看不懂。
经历三次挫折的伽罗瓦投身政治，抗议国王的专制统治，以“企图暗杀国王罪”不幸被捕在狱中，更加不幸的是，在监狱里他还染上了霍乱。
电影中的伽罗瓦形象
结果刚出狱伽罗瓦想把自己的数学成果发表，又被人陷害入狱，在监狱里度过了最后一年。
这个时候他好死不死在监狱里爱上了一个烟花女子，偏偏这个烟花女子的情敌还是一个军官，据说枪法在全国都有名。这个愣头青居然还答应了和情敌比枪。。。
深知必死无疑的伽罗瓦打算在最后一夜将自己五年来所有的研究成果都给记录下来，据说遗稿空白处还写着“我没有时间了，我没有时间了。。。”
各位，你要知道，他这一夜记录下的是他20多年人生仅存的研究成果。也就是他流世的所有东西也都是这一个晚上赶出来的。。。大家想想，这难度会有多高，不仅要保证每一笔计算不错，还不能遗漏每一个步骤。
伽罗瓦遗稿中的一页
第二天，果然就如他所料，一枪被军官干翻，直接被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。
他的朋友 Chevalier 遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学论文寄给高斯与雅科比，但是都石沉大海。高斯曾经因为得遇伯乐成就辉煌人生，却在最需要成为一名伯乐的时候看走了眼！
直到10年之后，法国著名数学家刘维尔看到了伽罗瓦的手稿，经过严密计算，最终肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，他还花了很久的时间对其进行阐释说明，1846年最后将其发表在极具有影响力的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。
刘维尔
由此，伽罗瓦这份手稿上的“伽罗瓦理论”震惊了整个数学界。堪称是神级之作。“伽罗瓦理论”中最华彩的部分就是天才般地提出了“群论”这个概念。
一般说来，群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：（1）封闭性 （2）结合律成立 （3）单位元存在 （4）逆元存在。具体解释如下：
伽罗瓦利用伽罗瓦理论证明了如何区分五次方程能够求解的和不能求解的多项式。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。
设(x)是域F上一个不可约多项式，假定它是可分的。作为(x)的分裂域E，E对于F的伽罗瓦群实际上就是(x)=0的根集上的置换群，而E在F的中间域就对应于解方程(x)=0的一些必要的中间方程。方程(x)=0可用根式解的充分必要条件是E对于F的伽罗瓦群是可解群。由于伽罗瓦证明了当n≥5时n次交错群An是非交换的单群，当然是不可解的，而且一般的n次方程的伽罗瓦群是n次对称群，因而一般5次和5次以上的方程不可能用根式解。
设G为一个元素的集合，称G内的元素为元，*为针对G这个集合的元素的运算。设G为有限集X上的置换的集合，若G满足群的定义，则(G，⋅)被称为一个置换群。（对置换群不理解的可以再去仔细看一下）
伽罗瓦的革命性在于其洞察到了多项式的解的对称性可以由多项式本身观察到而不必求解，而这一对称性本身完全决定了其解是否存在根号表达式。所以为了描述对称性，他引进了群的想法。
可以说伽罗瓦不仅证明一般高于四次的代数方程不能用根式求解，而且还建立了具体数字代数方程可用根式解的判别准则。
而且利用伽罗瓦理论更是一举解决了 2000 多年悬而未决的几何学三大难题。这三大难题分别是：
三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
伽罗瓦理论提出了解决这一类问题的系统理论和方法，后来，可以说，伽罗瓦理论中的群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，群论完全影响了后来数学、物理、化学等多门学科的发展。
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响之外，还生成了几何群论这一新的数学分支。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
另外，爱因斯坦的相对论、量子力学都应用到了群论的相关知识，怀尔斯为了解决费马大定理更是耗费了相当长的时间来熟悉群论。被视为可以实现宇宙大一统的规范场论即是用某些特殊的被称为李群的群去描述物理上的对称性。
在算术尤其是代数数论中，伽罗瓦群是最核心的对象，在算术和拓扑的交融中，伽罗瓦群在其中扮演着枢纽的角色，它与表示论的融合则是另一个现代数学的宏伟建筑朗兰兹纲领的梦想，朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支：数论、代数几何和群表示论，实际上是密切相关的，朗兰兹纲领便是旨在将它们连接融合。
朗兰兹纲领
可以说现代数学、物理和计算机的方方面面早已被群论所渗透，你翻遍科学世界的所有领域，都会有伽罗瓦理论存在的踪影。而提出伽罗瓦理论时，伽罗瓦才 21 岁。
