matlab 数据拟合解释（数学建模matlab之插值与拟合）

而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。函数实现3.分段线性插值了解概念插值多项式的振荡特点将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite插值。XI与YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。

1. 了解概念

   插值多项式

   插值节点

   范德蒙特(Vandermonde)行列式

   截断误差、插值余项

2. 特点

3. 函数实现

   function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

设n个节点数据以数组x0,y0输入（注意Matlat的数组下标从1开始），m个插值点以数组x 输入，输出数组y为m个插值。

则可用

y = lagrange(x0,y0,x)

调用。

1. 了解概念

   差商

   差分

   等距节点插值公式(Newton向前插值公式)

2. 特点

   每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。

3. 函数实现

1. 了解概念

   插值多项式的振荡

2. 特点

   将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。它是为了解决高次插值多项式的缺陷：随着插值次数n增加，虽然误差减小，但插值函数光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。

   实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

y=interp1(x0,y0,x,'method')

1. method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

2. 函数实现

   一维插值函数interp1：

1. 了解概念

2. 特点

   如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一

   阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。

   这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

3. 函数实现

   设n个节点的数据以数组x0（已知点的横坐标）， y0（函数值）， y1（导数值）输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。

   function y=hermite(x0,y0,y1,x)

1. 了解概念

   样条函数

   关于分划Δ的k次样条函数 k次样条曲线 样条节点 内节点 边界点 k次样条函数空间

   二次样条函数 三次样条函数

2. 特点

   有些问题对插值函数的光滑性有较高要求，要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

3. 函数实现

   y=interp1(x0,y0,x,'spline')； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。

1. 了解概念

   磨光函数

   等距B样条函数

   一维等距B样条函数插值 二维等距B样条函数插值

2. 特点

   实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用。

3. 函数实现

1. 了解概念

   插值节点为网格节点

   插值节点为散乱节点

2. 特点

3. 函数实现

插值节点为网格节点

二次样条插值：

z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')

其中 x0,y0分别为m维和n维向量，表示节点，z0为n × m维矩阵表示节点值，x,y为一维数组表示插值点x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z为矩阵，它的行数为y的维数，列数为x的维数，表示得到的插值，'method'的用法同上面一维插值。

三次样条插值：

pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})

其中 x0,y0 分别为m 维和n维向量，z0 为m × n 维矩阵，z 为矩阵，它的行数为x的维数，列数为y 的维数，表示得到的插值，使用方法同一维插值。

插值节点为散乱节点

已知n个节点：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求点(x, y)处的插值z：

ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)

其中X、Y、Z 均为n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值ZI为网格（XI，YI）处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。

1. 解方程组方法

   A = R \Y

   x=[19 25 31 38 44]';

a=polyfit(x0,y0,m)

1. 多项式拟合方法

y=polyval(a,x)

1. 计算。

   其中输入参数x0,y0 为要拟合的数据，m 为拟合多项式的次数，输出参数a 为拟合多项式y=amxm … a1x a0 系数a=[ am, …, a1, a0]。

   多项式在x 处的值y可用

在Matlab 优化工具箱中，用于求解最小二乘优化问题的函数有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

1. lsqlin 函数

x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)

1. lsqcurvefit 函数

X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)

X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)

1. lsqnonlin 函数

2. lsqnonneg 函数

End.

作者：小潘东

來源：简书