如何计算卷筒卫生纸的长度前一段时间看了李永乐老师的视频，谈到了卷筒卫生纸长度的计算方法看了以后很受启发，今天我们继续探讨这个话题，并把它拓展到平面等距螺旋线长度的计算卷筒卫生纸卷筒卫生纸的长度该如何计算呢？李永乐老师是从侧面。
前一段时间看了李永乐老师的视频，谈到了卷筒卫生纸长度的计算方法。看了以后很受启发，今天我们继续探讨这个话题，并把它拓展到平面等距螺旋线长度的计算。
卷筒卫生纸
卷筒卫生纸的长度该如何计算呢？李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面，形状都是圆环，计算这个圆环的面积很简单，套用公式就行了。请看圆环的面积计算公式：
S=π（R²-r²）
这个公式就是说一个圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。公式中的S代表圆环面积，R是外圆半径，r是内圆半径。
卫生纸可以展开拉直，这时它的侧面形状从圆环变成了一个长方形，长方形的长就是我们想知道的未知数L：卫生纸的长度，宽就是卫生纸的厚度。在这个变形过程中，侧面形状虽然从圆环变成了长方形，但是面积不变，于是可以根据这个等量关系列方程求L：
π（R²-r²）=L·W
方程式中的W代表长方形的宽。把方程式变形一下：
L=S/W 【S=π（R²-r²）】
所以，只有知道了卫生纸外圆、内圆和厚度这三个数据，就能够求出长度L。
其实，这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。
先看看我们在生活中遇到的这种螺旋线。
一盘蚊香
生活中很常见的蚊香就是平面等距螺旋线的实物化。这种螺旋线的长度应该怎么计算呢？我们的思路是从简单到复杂，从易到难。先谈谈怎么计算同心圆的周长。请看下图：
等距同心圆
这个同心圆的周长计算很简单，把每个圆的周长算出来再相加就完事了。下图是我们在生活中常见的同心圆的实物化形象。
飞镖靶盘
同心圆可以转化为螺旋线。请看下图：
一组等距同心圆变形为两条等距螺旋线
从上图可以很直观地看出，一条通过圆心的直线将同心圆分为上下两部分，将下半部分平移一个螺距，我们就得到了两条等距螺旋线。平移后的结果可以展示为很形象的具体实物，请看下图:
两盘蚊香
再看一下软件绘制平面等距螺旋线的绘图过程，请看下图：
图1
AI绘制等距螺旋线
Adobe illustrator，常被称为“AI”，是一个矢量图创作软件。看了上图，对我们探索平面等距螺旋线长度的计算方法很有启发。
明白了同心圆能够变换为螺旋线，一个最简单有力的计算方法呼之欲出：一条平面等距螺旋线的长度=对应的一组同心圆的周长之和的一半。换句话说，所求螺旋线长度=对应同心圆半圆弧长之和。
如果掌握了计算卷筒卫生纸长度的方法，那么计算快递粘胶带、电工常用的绝缘粘胶带、卷筒运输皮带等的长度也不在话下。
一组等距同心圆中，相邻两个圆的半径之差如果称为螺距，那么同心圆变形而成的等距螺旋线相邻两圈的半径之差也称为螺距。
计算卷筒卫生纸的长度这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。这条螺旋线的螺距就是卫生纸的厚度。卫生纸的侧面是圆环，圆环的内外圆半径之差称为环宽。卫生纸在内芯芯筒上绕一圈，也就是旋转360°可以称为一圈或是一匝。环宽=螺距×匝数。环宽和螺距都是已知数，那么匝数也能够算出来了。
一匝的螺旋线长度等于两个半圆的弧长之和，这两个半圆的半径之差是一个螺距。匝数增加就是螺距增加，从1个螺距到n个螺距，就是一个等差数列，公差是螺距。
下面我们来看一道例题，实际计算一卷包装卷膜的长度。请看下图：
自动包装机使用的光电卷膜
假设这卷膜的圆环形横截面内圆半径是5cm，外圆半径是23.112cm，卷膜厚度是0.008cm，求卷膜长度是多少米？
我们用Excel来计算。环宽=外圆半径-内圆半径=23.112-5=18.112（cm），螺距=卷膜厚度=0.008（cm）
第一个半圆周长到第四个半圆周长（cm）分别是15.70796， 15.7331， 15.75823 ，15.78336。第2265个半圆周长是72.6084893267948，求和为100018.3825（cm），约等于1000米。把这2265个半圆依从小到大的顺序连续地缠绕在内芯卷筒上，就是这卷光电膜的实际长度。
这圈膜以三面封的形式制袋，按每个小袋袋长9.5cm计算，可以制100000÷9.5=10526.3158袋。这卷膜用了一部分没有用完，我们想知道还剩余多少米的长度，那么可以测量环宽，在刚才编制的Excel表格中查找数据，就能够知道卷膜的长度了。
补充一个计算卷膜长度的简单方法。请看下图：
塑料材质简介
在图中查看你要计算的卷膜是什么材质，相应的比重是多少。下图对你的判断可能有帮助。
常见塑料袋的材质
只要知道了卷膜的比重，就可以称重量计算体积，算出体积就自然能够求出卷膜的长度了。
更简单的方法是称卷膜的毛重，即卷膜本身重量加上内芯卷筒的重量，再减去内芯卷筒的重量得到卷膜的净重。卷膜的净重和卷膜长度成比例，用这个比例就能够计算出卷膜长度。
在测量环宽时，必须找准圆心，否则测量数据不准确导致计算出现较大误差。现在补充介绍一个知识点：已知一个弓形，如何找圆心，计算半径、圆心角、弧长和面积等。请看下图：
图中黄色部分就是弓形
圆的一条弦把圆分割为两个部分，只要这条弦不是直径，那么这两部分面积不相等，包含圆心的那部分是个弓形，由一段优弧和弦组成；不包含圆心的那部分，是我们最常见的弓形，由一段劣弧和弦组成。一般而言，我们所指的弓形，就是不包含圆心的那个弓形。
相关计算公式见下图：
弓形相关数据计算公式
图上的弓形，如果我们知道弦长s和高度h，就能够求出圆的半径。计算的依据是圆的相交弦定理。
设P是圆内一点，弦AB和弦CD相交于点P，则有AP·PB=CP·PD
请看下图：
弓形已知弦长和高度找圆心计算半径示意图
在弓形CED中，已知弦长CD和高度EF，就可以求出半径R。直径BE垂直平分弦CD，根据相交弦定理，CF·FD=EF·FB，如果我们设圆的半径为R，弦CD的长度为B=2A，弓形高度EF为h，则可以推导出计算半径的公式：
A²=h(2R-h)=2Rh-h² ∴R=(A² h²）/2h
计算实例如下：
计算实例
如图，已知弓形AHB的弦长AB=16，高度CH=4，代入公式计算可得
R=（8² 4²）/2·4=80÷8=10
设:弓形的弦长为b，弓形的高为h, 半径为: R, 弧长为: L, 圆心角为: θ,计算圆心角的公式为：θ=4arctan(2h/b).(单位为：弧度).
计算弧长的公式为：L=2πR*( θ/360)
弧度和角度的转换公式：
弧度记为rad，角度记为deg，1πrad=180°，2πrad=360°
1rad=180°/π（约等于57.29577951°）
公式见下图：
角度和弧度转换公式
计算举例：
31°6′等于多少弧度？
一度=60分，1分=60秒，π弧度=180°，所以
31°6′=[31/180 6/(180×60）]π
=311π/1800(弧度）
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
